Goldener Schnitt

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englisch: golden section; französisch: section dorée, section d'or; italienisch: sezione aurea.


Marcus Frings (2015)


Goldener Schnitt, Schema.
Goldener Schnitt, Konstruktion.
Le Corbusier, Modulor, 1946.

I. Grundlagen

A. Definition

Der „Goldene Schnitt“ bezeichnet ein Teilungsverhältnis bzw. eine Proportion. Eine Strecke heißt „im Goldenen Schnitt geteilt“, wenn sich die Länge der kleineren Teilstrecke zu der der größeren Teilstrecke so verhält wie diese zur Länge der Ausgangsstrecke.[1] Die Strecke AB der Länge a wird also im Teilungspunkt E im Goldenen Schnitt geteilt, wenn die Teilverhältnisse (a-x)/x und x/a übereinstimmen (Abb.). Setzt man für a den Wert 1, so ist x/a = 0,618... (oder ½ [√5 - 1]). Dieses Zahlenverhältnis gilt auch für die erneuten Unterteilungen („innere Teilung“): Trägt man die kleinere Teilstrecke (Minor) auf der größeren (Major) ab, wird diese zur neuen Gesamtstrecke (Summa) usw., jeweils im Verhältnis des Goldenen Schnittes, der daher in der Mathematik als „stetige Teilung“ bezeichnet wird. Wird die Major der Gesamtstrecke AB angefügt, so wird sie zur Minor einer weiteren im Goldenen Schnitt geteilten neuen Summa der Länge 1,618... (oder ½ [√5 + 1]), was als „äußere Teilung“ bezeichnet wird.

Es entsteht eine geometrische Reihe (0,618..., 1, 1,618... usw.), in der jede Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist, wie bei den „Fibonacci-Zahlen“ (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 usw.). Sie sind nach dem Mathematiker Leonardo Pisano (Filius Bonacci) benannt, der damit (1202) die angeblich von Kaiser Friedrich II. gestellte sog. Kaninchen-Aufgabe gelöst hatte, und werden in der Formel an + an+1 = an+2 auch als Lamé'sche Reihe bezeichnet.[2] Die Quotienten an/ an+2 dieser rationalen Zahlen konvergieren gegen den irrationalen Wert des Goldenen Schnittes (0,618... oder ½ [√5 - 1]), sie zielen also auf ein kommensurables Operieren mit diesem inkommensurablen Verhältnis.

B. Konstruktion

Euklid gibt eine recht komplizierte zeichnerische Konstruktion, die den Goldenen Schnitt eher als Nebenprodukt enthält.[3] Das heute übliche Verfahren, das wohl auf Heron von Alexandrien zurückgeht, benötigt hingegen lediglich 2 Zirkelschläge unterschiedlicher Radien (Abb.).[4] Die Gesamtstrecke AB wird zur Kathete des rechtwinkligen Dreiecks ABC, dessen Gegenkathete a/2 misst. Die Gegenkathete trage man auf der Hypotenuse von C ab, übertrage den erhaltenen Punkt D im Abstand von A auf die Kathete AB, die so in E im Goldenen Schnitt geteilt ist.

Dessen Major ist nun die Seite eines regelmäßigen Zehnecks in einem Umkreis mit dem Radius a, in der Konstruktion Herons ergibt sich eine Fünfeckseite. So verbindet sich der Goldene Schnitt eng mit dem Fünfeck, das mit seiner Hilfe leicht zu konstruieren ist. Die Diagonalen des Fünfecks schneiden sich in stetiger Teilung und bilden ein inneres Pentagramm, das wiederum ein Fünfeck enthält (in Entsprechung zur inneren Teilung).[5] Auf einfachem Wege ergibt ein geknoteter Papierstreifen ein Fünfeck, und auch in anderen geometrischen Formen lässt sich die stetige Teilung vorführen, etwa beim „goldenen“ Rechteck oder der logarithmischen Spirale. Die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit ließ die stetige Teilung auch zum Gegenstand der Fraktalgeometrie werden.[6]

C. Wortgebrauch

Euklid spricht von der Teilung „nach äußerem und mittlerem Verhältnis“[7], womit die Verhältnisse Major zu Summa und Minor zu Major gemeint sind. Dies war in Europa bis zur Mitte des 19. Jh. üblich, abgesehen von der arabischen und arabisch beeinflussten Tradition, in der die Bezeichnung „Teilung mit einer Mitte und zwei Enden“ verwendet wird. Für die Major sind auch die Ausdrücke „mittlere Proportionale“ und „geometrisches Mittel“ gebräuchlich. Die besondere Wertschätzung von Goldenem Schnitt und Fünfeck spricht schon aus dem Titel, den der Franziskaner Luca Pacioli seinem 1497 verfassten, aber erst 1509 mit zwei anderen Schriften publizierten Traktat gab: „De divina proportione“.[8]

Der Terminus „Goldener Schnitt“ taucht in den 1830er Jahren in Geometrie- und Mathematik-Lehrbüchern auf.[9] Damit wird wohl eine ältere mündliche Tradition fixiert, auf die vermutlich Ausdrücke wie „numerus aureus“ aus der Komputistik, „regula aurea“ für den Dreisatz oder „theorema aurea“ für das Haupttheorem der „Ars conjectandi“ Jakob Bernouillis[10] eingewirkt haben.[11] Mit den Schriften Adolf Zeisings und seiner Schüler setzte sich der Terminus Goldener Schnitt im 19. Jh. allgemein durch, im Englischen als „golden section“[12] im Französischen als „section dorée“ oder „section d'or“,[13] und im Italienischen als „sezione aurea“.[14] Allein schon diese Begriffswahl bezeugt die ästhetische Relevanz des Goldenen Schnitts. Dagegen richtet sich in jüngster Zeit der Versuch, wieder zur euklidischen Terminologie zurückzukehren. In der modernen Populärliteratur wird für den numerischen Wert des Goldenen Schnittes oft das Zeichen Φ eingesetzt, ebenso in der Mathematik, die aber auch über das Zeichen „tau“ (von tome/Schnitt) diskutiert.[15]

II. Kunstliteratur

A. Kunsttheorie und Proportionsanalysen

Der erste neuzeitliche Traktat über den Goldenen Schnitt, „De divina Proportione“ (siehe oben), beschreibt die geometrischen Eigenschaften der stetigen Teilung und preist sie als „göttlich“, da sie fünf Eigenschaften Gottes habe.[16] Weder im typographischen noch im architekturtheoretischen Teil empfiehlt er jedoch den Goldenen Schnitt, bietet vielmehr eine um metaphysische Aspekte angereicherte Paraphrase der Säulenlehre Vitruvs. Paciolis modellhafte Architektur, das Portal des Tempels in Jerusalem, zeigt durchaus keine stetige Proportion.[17] Sowohl der Traktat Paciolis als auch der Goldene Schnitt blieb für die Kunsttheorie lange uninteressant. Selbst Albrecht Dürer erkannte nicht den Zusammenhang zwischen seiner Fünfeck-Konstruktion und dem Goldenen Schnitt, den er lediglich annäherungsweise im Praxis-Instrument des „Vergleichers“ anwendet.[18] Auch z. B. in der Reihe der möglichen Rechteckproportionierungen zwischen Quadrat und Doppelquadrat kommt der Goldene Schnitt vor 1800 in keinem Traktat vor.

Adolf Zeising schloss 1854 mit seiner Schrift über die Proportionen des menschlichen Körpers an die in der Kunsttheorie eben überwundene Lehre von der prästabilierten Harmonie an, wenn er im Kosmos wie in der Kunst den Goldenen Schnitt als „Grundprinzip aller nach Schönheit ... drängenden Gestaltung“ ausmachte.[19] Dies legte er auf den Gebieten der Botanik, Zoologie, Anatomie, dann auch auf denen der bildenden Kunst und der Musik dar, womit er eine ganze Schule begründete, die sich dann auch der Astronomie, Kristallographie und sogar der Dichtung zuwandte.[20] Von allen Versuchen, in der Geschichte der Kunst normierende Proportionssysteme auszumachen (z. B. Triangulatur, Quadratdiagonale und die Verhältnisanalogie August Thierschs[21]), sind die dem Goldenen Schnitt gewidmeten am weitesten verbreitet und wohl die bis heute folgenreichsten, auch heute noch erscheinen entsprechende Studien.[22] Allen gemeinsam ist das Fehlen fachwissenschaftlicher Methodik und kunsttheoretischer Bezüge. Steht diese universelle Morphologie noch in einem Zusammenhang mit einem rationalen Positivismus, entstehen seit dem Beginn des 20. Jh. metaphysisch orientierte Studien, die eine Tradition bis zur Esoterik der Gegenwart entfalten.[23]

Erst bei Le Corbusier ging die stetige Teilung in die Kunstliteratur ein. Den bereits in frühen Entwürfen vorkommenden Goldenen Schnitt baute er, wohl angeregt durch die Schriften Matila Ghykas und Ernst Neuferts, zu einem umfassend anwendbarem Maßsystem aus (Abb.).[24] Es beruht allerdings auf Annäherungswerten an Fibonacci-Zahlen, die lediglich aus vertikalen Maßstrecken des menschlichen Körpers gewonnen werden. Da die „blaue“ Zahlenreihe (stetige Teilung der Gesamthöhe) und die „rote“ Reihe (Teilung nur der Nabelhöhe) kombiniert werden dürfen, wird das System derart flexibel, dass vom Goldenen Schnitt mitunter wenig zu erkennen ist. Die Bedeutung Le Corbusiers und seine große Wirkung liegt darin, aus rationalistischen Motiven erneut eine normative Ästhetik zu propagieren, die ein anthropomorphes Maßsystem mit abstrakter Geometrie verbindet. So fehlt heute der Goldene Schnitt in kaum einem Lehrbuch zur Gestaltung. Hin und wieder dient er auch dazu, um architektonischen Entwürfen eine Reflexion der Proportionen beizugeben.[25]

B. Experimentelle Ästhetik

In der Geschichte der Psychologie ist der Goldene Schnitt bedeutsam als Paradigma der experimentellen Ästhetik. Gustav Theodor Fechner trug entscheidend zur Formierung der Disziplin bei, indem er die Rezeption des Goldenen Schnitts anhand einfacher geometrischer Formen untersuchte. Dabei stellte er fest, dass ein im Goldenen Schnitt proportioniertes Rechteck von Probanden bevorzugt wurde.[26] Da er dies weder bei Ellipsen noch in der schlichten Streckenteilung bestätigen konnte, sah er „den ästhetischen Werth des Goldenen Schnittes von Zeising überschätzt“[27], den er sogar parodierte.[28] Seitdem bereits die Einfühlungspsychologie die absolute Bedeutung des Goldenen Schnittes hinterfragte, und zahlreiche variierende Experimente selbst Fechners Ergebnisse für das „goldene Rechteck“ nicht wiederholen konnten, ist mittlerweile kaum umstritten, dass es generell unmöglich ist, einen psychophysischen Formenkanon aufzustellen.[29]

C. Kunstwissenschaftliche Ästhetik

Dennoch haben Zeisings Thesen und Fechners Experimente auf die umfassenden Systeme der kunstwissenschaftlichen Ästhetik seit Beginn des 20. Jh. eingewirkt. Max Dessoir[30] und Miloutine Borissavlievitch[31] diskutierten den Goldenen Schnitt kritisch, Paul Frankl galt er hingegen als konstituierendes Element des „harmonialen Stils“.[32]

Nicht nur in der bildenden Kunst, sondern auch in der Musik war der Goldene Schnitt von Bedeutung. So wurden in Kompositionen von Claude Débussy und Eric Satie Zahlenfolgen der Fibonacci-Reihe festgestellt; ferner setzten Karlheinz Stockhausen und Gérard Grisey diese Zahlen ein.[33].

III. Bildende Kunst

A. Methodik

Alle vermeintlichen Nachweise von Proportionssystemen müssen unter epistemologischen Vorbehalt stehen. Die Auswahl der Maßstrecken muss von der Entwurfspraxis der Zeit ausgehen, die Frage der Toleranzen muss die Baupraxis berücksichtigen. Werden Zahlenverhältnisse im Goldenen Schnitt gefunden, lassen sie sich bei Gebäuden oft aus dem baulichen Kontext erklären.

B. Architektur

Das Modell der Florentiner Domkuppel von 1367 wies laut Beschluss der Baukommission zwar die Maße von 144 „braccia“ (Florentiner Ellen) in der Höhe und 72 in der Breite aus, und auch die Tribunen sollten 72 Ellen hoch sein.[34] Dass der Tambour 17 Ellen und folglich die Kuppel allein 55 Ellen messen sollte, lässt sich jedoch nicht belegen. Daher fehlt der These, die „otto maestri e dipintori“ hätten diese Fibonacci-Reihe ihrem Plan zugrunde gelegt, der dokumentarische Beleg.[35] Und selbst die 72 und 144 Ellen finden eine Erklärung, die mit dem Goldenen Schnitt nichts zu tun hat: Die Breite des im Westen bereits vollendeten Langhauses von 72 Ellen wurde wohl von der Gesamtbreite der Vorgängerkirche S. Reparata übernommen; es lag nahe, dieses Maß für die Kuppelweite zu übernehmen und dann für die innere Kuppelhöhe zu verdoppeln.

Eine ähnliche Kritik betrifft die These, die Pazzi-Kapelle Filippo Brunelleschis sei nach dem Goldenen Schnitt entworfen worden. Konrad Hecht hat in 17 Proportionsanalysen der Pazzi-Kapelle, die meist den Goldenen Schnitt herausstellen, erhebliche Differenzen zwischen Ist- und Sollmaßen nachgewiesen.[36] Auch sein eigener Vorschlag einer speziellen Elle weicht von den Bauaufnahmen ab und berücksichtigt nicht hinreichend die Unregelmäßigkeiten im Innern der Kapelle sowie die Bedingungen des Bauplatzes, die Brunelleschis Entwurfsfreiheit deutlich einschränkten.[37] Auch andere Versuche, in Gebäuden den bewussten Einsatz des Goldenen Schnittes nachzuweisen, können nicht überzeugen.[38] Bisher unerforscht ist der Einfluss der Schriften Zeisings und seiner Schule auf die zeitgenössische Architektur.

Schon vor den theoretischen Äußerungen Le Corbusiers findet sich der Goldene Schnitt in dessen architektonischem Werk. Die Villa Les Terrasses (Stein-de Monzie) in Garches (1927) weist in der Rechteckproportion von Grund- und Aufriss sowie in der Strukturierung des Grundrisses annähernd die stetige Teilung auf. Der Fassadenentwurf zeigt, dass über die Fibonacci-Zahlen – hier 3 und 5 – geometrische und modulare Entwurfsregulierung durchaus vereinbar sein können: Unter den Plan notiert Le Corbusier den Rhythmus, darüber die stetige Teilung.[39] Eine Demonstration der Anwendung des Modulors ist die Unité d'Habitation in Marseille (1945–1952), die den Modulor sogar in der Fassadendekoration zeigt.[40] Bei allem Erfolg Le Corbusiers scheint die Wirkung des Modulors doch begrenzt zu sein. Neue Analysen zu Gebäuden und dem Goldenen Schnitt finden sich in mehreren Beiträgen zum Nexus Network Journal. Architecture and Mathematic Online.[41]

C. Malerei

Im zweidimensionalen Medium der Malerei scheint der Goldene Schnitt einfacher nachzuweisen zu sein; es gibt unzählige Versuche dazu.[42] Einiges für sich hat die These, Masaccio habe im Trinitätsfresko von S. Maria Novella in Florenz 1429 den Goldenen Schnitt als Kompositionsmittel eingesetzt. Die vorgeschlagene euklidische Konstruktion mit einer Variante im gleichschenkligen Dreieck dürfte auf die intensive Auseinandersetzung mit der Geometrie Euklids und die Perspektivstudien Masaccios zurückzuführen sein.[43]

Auch über einen reflektierten Einsatz des Goldenen Schnittes in der Malerei nach Zeising und vor allem Fechner ist nachzudenken. Im Werk George Seurats tauchen öfters 5 zu 8-Proportionen auf, doch fehlen dokumentarische Belege dazu.[44] Für Paul Sérusier ist dagegen belegt, dass er den Goldenen Schnitt nicht nur kannte, sondern um die Jahrhundertwende auch zur Entwurfskontrolle einsetzte.[45] Die kubistische Künstlergruppe „Section d'Or“ verstand den Goldenen Schnitt allerdings eher als ein Signum für ihre Interessen an Wissenschaft und Philosophie, obwohl auch versucht wurde, den Goldenen Schnitt als geometrisches Kompositionsmittel nachzuweisen.[46] Zu einer wahren Fibonacci-Mode kam es in den 1960er Jahren in der Minimal Art. Einige Installationen von Timm Ulrichs haben den Goldenen Schnitt zum Thema, der mit einem zerschnittenen Weißbrot auch ironisiert wird („Der Goldene Schnitt [Anwendungs-Beispiel]“, 1969). Im klassischen Tafelbild variiert Jo Niemeyer den Goldenen Schnitt als Flächenphänomen.[47]

D. Unreflektierter Einsatz

Einige Künstler haben Thesen abgelehnt, die ihnen eine Anwendung des Goldenen Schnitts unterstellten, so Juan Gris, Piet Mondrian und Otto Pankok.[48] Sie sei mit der modernen Auffassung vom autonomen Künstler (der sich nicht „maß-regeln“ lässt) und der Subjektivität seines Schaffens nicht vereinbar. Diese auch für frühere Zeiten selbstverständliche Freiheit ließ es jedoch zu, dass in einzelnen Werken immer wieder erstaunlich genau der Goldene Schnitt verwirklicht wurde – und zwar in allen Gattungen. Für das Kunsthandwerk ist der Buchdruck zu nennen (Satzspiegel), der Geigenbau, oder als Einzelwerk der Tassilokelch (um 777): Hier liegt der Teilungspunkt genau in der Mitte der Cuppa.[49]

Auch in der Architektur ließen sich bei korrekter Analyse gewiss hier und da Proportionen im Goldenen Schnitt feststellen, die jedoch kaum bewusst gewählt sind. Dies ist der Fall bei den Obergeschoss-Fenstern der Villa La Fratta bei Sinalunga (1527/28, Peruzzi?), die sehr exakt den Goldenen Schnitt treffen.[50] Ebenso könnte in der Architektur etwa die Rechteckproportion der Quadratdiagonale zu finden sein, wenn man sie nur suchte. Alle Angaben über die Proportionierung von Kunstwerken im Goldenen Schnitt sind meistens jedoch ebenso Aussagen über die Geometrie der Monumente wie über die Person des Suchenden.[51]

Anmerkungen

  1. Euklid, Die Elemente, VI, Def. 3, übersetzt und ediert von Clemens Thaer, 8. Aufl. Darmstadt 1991, S. 111; vgl. auch Harold Scott Macdonald Coxeter, Introduction to Geometry, 2. Aufl. Basel 1969, S. 160–169.
  2. Steven Vajda, Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section. Theory and Applications, Chichester u. a. 1989.
  3. Euklid, Die Elemente, übersetzt und ediert von Clemens Thaer, 8. Aufl. Darmstadt 1991, II, 11.
  4. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 191f.
  5. Hermann von Baravalle, Die Geometrie des Pentagramms und der Goldene Schnitt, Stuttgart 1950, S. 13f.
  6. Hans Walser, Der Goldene Schnitt, 2. Aufl. Stuttgart u. a. 1996.
  7. Euklid, Die Elemente, übersetzt und ediert von Clemens Thaer, 8. Aufl. Darmstadt 1991, S. 434, Anm. zu VI, Def. 3.
  8. Luca Pacioli, De divina proportione, Venedig 1509, Nachdruck Urbino 1969.
  9. Z. B. Martin Ohm, Die reine Elementar-Mathematik ..., 2. Aufl. Berlin 1835, Bd. 2, S. 194.
  10. Jacob Bernoulli, Ars conjectandi. Opus posthumum ..., Basel 1713. Englische Übersetzung: The Art of Conjecturing ..., Baltimore 2006.
  11. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 237; Roger Herz-Fischler, A Mathematical History of the Golden Number, Mineola und New York 1998, S. 168–170.
  12. The Oxford English Dictionary, Oxford 1989, Bd. 6, S. 656.
  13. Le Grand Robert de la langue française, 2. Aufl. Paris 2001, Bd. 6, S. 298.
  14. Salvatore Battaglia, Grande dizionario della lingua italiana, Bd. 18, Turin 1996, S. 830.
  15. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 37f. und S. 193–195.
  16. Luca Pacioli, De divina proportione, Venedig 1509, Nachdruck Urbino 1969, fol. 3v–4r.
  17. Luca Pacioli, De divina proportione, Venedig 1509, Nachdruck Urbino 1969, fol. 23r–33v; Marcus Frings, Mensch und Maß. Anthropomorphe Elemente in der Architekturtheorie des Quattrocento, Weimar 1998, S. 301–317.
  18. Berthold Hinz, in: Albrecht Dürer, Das druckgraphische Werk, bearbeitet von Rainer Schoch u. a., Bd. III, München u. a. 2004, S. 335, Nr. 277.3.
  19. Adolf Zeising, Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Körpers, Leipzig 1854, S. V.
  20. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 12–18.
  21. Sibylle Appuhn-Radtke, Harmonie als zeitlose Qualität. St. Ursula in München-Schwabing. Ein Kirchenbau von August Thiersch, München 2013, S. 142–149.
  22. Fredrik Macody Lund, Ad quadratum. A Study of the Geometrical Bases of Classic & Medieval Religious Architecture, London 1921; Charles Funck-Hellet, De la Proportion. L'équerre des maîtres d'œuvre, Paris 1951; György Doczi, Die Kraft der Grenzen, Harmonische Proportionen in Natur, Kunst und Architektur, 4. Aufl. Stuttgart 1996.
  23. Z. B. Matila C. Ghyka, Esthétique des proportions dans la nature et dans les arts, Paris [1927] 1998; Walther Bühler, Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip, Stuttgart 1996.
  24. Le Corbusier, Le Modulor, Boulogne-sur-Seine 1948 und Modulor 2, Boulogne-sur-Seine 1955.
  25. z. B. Ricardo Bofill, Taller de Arquitectura, Stuttgart 1985.
  26. Gustav Theodor Fechner, Über die Frage des goldnen Schnitts, in: Archiv für die zeichnenden Künste 11, 1865, S. 100–112; und mit differenzierter Versuchsanordnung und Reflexion: Gustav Theodor Fechner, Vorschule der Ästhetik, T. 1,2, Leipzig 1876, S. 184–202.
  27. Gustav Theodor Fechner, Vorschule der Ästhetik, T. 1, 2, Leipzig 1876, S. 162.
  28. Gustav Theodor Fechner, Warum wird die Wurst schief durchgeschnitten?, in: Gustav Theodor Fechner, Kleine Schriften, Leipzig 1913, S. 255–270.
  29. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 21–27.
  30. Max Dessoir, Ästhetik und allgemeine Kunstwissenschaft, Stuttgart 1906, S. 124–127.
  31. Miloutine Borissavlievitch, Traité d'esthétique scientifique de l'architecture, Paris 1954.
  32. Paul Frankl, Das System der Kunstwissenschaft, Brünn, Leipzig 1938, S. 43.
  33. Jonathan Kramer, The Fibonacci Series in Twentieth-Century Music, in: Jornal of Music Theory 17, 1973, Nr. 1, S. 110–148)
  34. Neueste Messungen bei Cristina Acidini Luchinat und Riccardo Dalla Negra, Cupola di S. Maria del Fiore. Il cantiere di restauro 1980-1995, Rom 1995.
  35. Wolfgang Braunfels, Der Dom von Florenz, Olten u. a. 1964, S. 31.
  36. Konrad Hecht, Maßverhältnisse und Maße der Cappella Pazzi, in: Architectura 5, 1976, S. 148–174.
  37. Howard Saalman, Designing the Pazzi Chapel. The Problem of Metrical Analysis, in: Architectura 8, 1979, S. 1–5.
  38. Z. B. Wolfgang Wiemer, Baugeometrie und Maßordnung der Abteikirche Ebrach. Ergebnisse einer Computeranalyse I. Zugleich Einführung in die Methodik, Würzburg 1995; Gianluigi Garbellini, Armonia rinascimentale nella facciata del Santuario della Madonna di Tirano, in: Bollettino della Società storica valtellinese 48, 1995, S. 115–133.
  39. H. Allen Brooks (Hg.), The Le Corbusier Archive, Bd. 3, Paris 1982, S. 365–469, Atelier-Nr. 1087: Colin Rowe, Die Mathematik der idealen Villa, Basel u. a. 1998: https://books.google.de/books?id=oVvJybSj3hMC&printsec=frontcover&dq=rowe+villa&hl=de&sa=X&ei=HLnMVMiUJ4X6PN6FgbgN&ved=0CCYQ6wEwAA#v=onepage&q=rowe%20villa&f=false (Abb. 11).
  40. Jacques Sbriglio, Le Corbusier. Habiter: de la villa Savoye à l'Unité d'habitation de Marseille, Arles 2009, Abb. S. 127.
  41. http://www.nexusjournal.com.(06.03.2015). Siehe ferner Marcus Frings, The Golden Section in Architectural Theory, in: Nexus Network Journal 4, 2002, Nr. 1, S. 9–32 (http://www.nexusjournal.com/volume-4/number-1-february-2002.html [06.03.2015]).
  42. Vgl. Nevenka Kroschewski, Caravaggio-Bild und Caravaggios Bilder – zur Frage der künstlerischen Methode, in: Artibus et historiae 39, 1999, S. 191–215.
  43. Florian Huber, Das Trinitätsfresko von Masaccio und Filippo Brunelleschi in Santa Maria Novella in Florenz, München 1990, S. 46–50.
  44. Roger Herz-Fischler, An Examination of Claims Concerning Seurat and the „Golden Number“, in: Gazette des Beaux-Arts, VIe période, 101, 1983, S. 109–112.
  45. Roger Herz-Fischler, Le Nombre d'or en France de 1886 à 1927, in: Revue de l'Art 118, 1997, S. 9–16.
  46. William A. Camfield, Juan Gris and the Golden section, in: The Art Bulletin 47, 1965, S. 128–135.
  47. Dietmar Guderian, Mathematik in der Kunst der letzten 30 Jahre, Ebringen i. Br. 1990.
  48. Jürgen Fredel, Maßästhetik. Studien zu Proportionsfragen und zum Goldenen Schnitt, Hamburg 1998, S. 34.
  49. Franz Mali, Der Tassilokelch. Seine klassischen Proportionen, in: Das Münster 1, 1997, S. 67–70.
  50. Freundlicher Hinweis von Gerda Bödefeld, Siena.
  51. Mein Dank gilt C. Heinrich Wunderlich, Halle; Jürgen Bokowski, Darmstadt; Raphael Rosenberg, Wien; Gerda Bödefeld, Siena; Pamela C. Scorzin, Dortmund; Daniel Di Liscia, München.

Verweise