Dreieck

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englisch: Triangle; französisch: Triangle; italienisch: Triangolo.


Richard Teufel (1955)

RDK IV, 403–414


RDK IV, 403, Abb. 1. Formen und Konstruktion von Dreiecken.
RDK IV, 405, Abb. 2. J. F. Fromiller, 1746-53, Ossiach (Kärnten).
RDK IV, 407, Abb. 3. Jacob Boschius, 1701.
RDK IV, 409, Abb. 4. Augsburger Stecher, 2. H. 17. Jh.
RDK IV, 411, Abb. 5. Villard de Honnecourt, um 1235.
RDK IV, 413, Abb. 6. Stadl Paura, O. Ö., 1712-24.

I. Begriff

Die Verbindung dreier auf einer Ebene liegender Punkte durch Geraden ergibt ein ebenes D.; liegen die drei Punkte und die sie verbindenden Linien auf einer Kugelfläche, so entsteht ein sphärisches D. Ebene D. sind in allen Teilen leicht mit einfachen Meßgeräten festzulegen und zu übertragen und daher als D. wie als bestimmbare Teile von Vielecken (vor allem von Vierecken) mittelbar und unmittelbar für alle Arten der Vermessung – also auch für Grundriß und Aufriß eines Gebäudes – unentbehrlich.

II.

a) Mathematik

Mit Pythagoras (570 bis ca. 496 v. Chr.) hat die wissenschaftliche Bearbeitung des D. begonnen. Er erkannte, vielleicht durch einen Aufenthalt in Ägypten gefördert, daß die Summe der Quadrate der Katheten dem Hypotenusenquadrat gleich ist; seine wahrscheinlich nur für das rechtwinklige D. mit den Seitenwerten 3, 4 und 5 gemachte Entdeckung wurde durch einen seiner Schüler als für alle rechtwinkligen D. gültig erwiesen („pythagoräischer“ Lehrsatz). Auf die Pythagoräer geht auch die Feststellung des Problems der Inkommensurabilität am rechtwinkligen D. zurück: nur bei einer kleinen Zahl rechtwinkliger D. lassen sich die Seiten in (realen) Zahlen – den sog. pythagoräischen Zahlen – ausdrücken, während z. B. die Hypotenuse am gleichschenkligen rechtwinkligen D. jeder Zahlenfestlegung (nach griechischer Art) widerstrebt. (Die pythagoräischen Zahlen sind für Proportionslehren bedeutsam geworden.) Die Pythagoräer beschäftigten sich auch mit den regulären Körpern und kamen zu Erkenntnissen, auf denen aufbauend Plato (429–347 v. Chr.) die fünf „platonischen“ Körper aus zwei „platonischen“ D. entwickelte.

Er benutzte das (bei der Vierteilung des Kreises gewonnene) rechtwinklig-gleichschenklige D. und bildete daraus den Würfel. Aus dem rechtwinkligen D., bei dem die Hypotenuse doppelt so groß ist wie die kleine Kathete (dieses D. ist die Hälfte eines gleichseitigen D.), ließ er den Tetraeder, den Oktaeder und den Ikosaeder entstehen; diese drei Körper haben Oberflächen, die aus 4, 8 bzw. 20 gleichseitigen D. so gebildet werden, daß die Mitten jedes D. auf einer Kugeloberfläche liegen. Die D., von denen Plato ausging, haben Winkel von 30 bzw. 45 Grad; sie dienen noch heute als Zeichengerät.

Euklid begründete um 300 v. Chr. in Alexandria die nach ihm benannte rein wissenschaftliche Geometrie. Sein Lehrbuch ist eine Zusammenfassung der gesamten mathematischen Kenntnisse seiner Zeit; es diente bis in die jüngste Vergangenheit als Schulbuch und bildete somit auch die Grundlage aller Anwendungen des D. in der Kunst. Euklids Lehre hatte eine Theorie der fünf platonischen Körper zum Ziel.

Erst in der Neuzeit wurden die mathematischen Formeln zur Bestimmung sphärischer und schließlich auch von Kurven-D. entwickelt.

b) Angewandte D.-Formen

Die D. und alle mit ihnen zusammenhängenden einfachen geometrischen Formen werden seit etwa einem Jahrhundert auf ihre Verwendung bei Kunstwerken hin erforscht. Die Ordnung der vielen entdeckten D. ergibt sich am besten aus dem Verhältnis zum Kreis, der sie umschreibt; dabei ist die Grundlinie des D. die Sehne eines Kreisbogens und die Spitze des D. liegt im Kreismittelpunkt.

Alle diese D. sind gleichschenklig und lassen sich am einfachsten nach dem zugehörigen Kreisteiler ordnen. Das einfache D., auf Grund des Teilers 4, hat den Spitzenwinkel von 90 Grad (– 360:4) und ist damit ein Viertel des dem Kreis einbeschriebenen Quadrates (Abb. 1 a); es ist das einzige rechtwinklige D. der Reihe. Das D. des Teilers 5 hat den Winkel 72 Grad (Abb. 1 b), der Teiler 6 ergibt das gleichseitige D., dessen Seite gleich dem Halbmesser ist (Abb. 1 g). Von den folgenden D. sind noch die mit dem Teiler 8 (45 Grad; Abb. 1 h), 10 (36 Grad; Abb. 1 d) und 12 (30 Grad; Abb. 1 g) wichtig. Aus dem D. mit dem Spitzenwinkel 36 Grad kommt der Goldene Schnitt; aus der 4-, 6- und 8-Teilung ergeben sich weitere Figuren, so das Quadrat, das Sechs- und Achteck sowie der Sechs- und Achtstern (Abb. 1 c). Davon ist der Sechsstern als Durchdringungsfigur zweier geschwenkter gleichseitiger D. wichtig (Abb. 1 i).

In diese Ordnungsreihe lassen sich die im Zuge der Erforschung ma. Bauwerke nach ihren „Entdeckern“ benannten D. eingliedern: das Drachsche D., dessen Grundlinie die Seite des einbeschriebenen Quadrats und dessen Spitzenwinkel von 45 Grad der zugehörige Peripheriewinkel ist (Abb. 1 c); das Knauthsche D., dessen Grundlinie die Quadratseite ist und dessen Spitze auf der Mitte der gegenüberliegenden Quadratseite liegt (etwa 52 Grad; Abb. 1 e); das Witzelsche D., das bei 36 Grad mit der 10-Teilung zusammenfällt (Abb. 1 d).

III. Symbolik

a) Einfachheit und Klarheit der Form haben das D. schon lange vor jeder mathematischen Erkenntnis als Symbol erscheinen lassen.

Mindestens seit der jüngeren Steinzeit ist das D. religiöses Zeichen. In der älteren Steinzeit trat es als Darstellung der weiblichen Scham auf, und noch bei den Griechen bezeichnete es zuerst das weibliche, später auch das männliche Prinzip. Etwa im 4. Jh. v. Chr. kam, vielleicht durch Griechen vermittelt, das trianguläre Linga (Sanskrit: Geschlechtsteil; Symbol des Schiwa) nach Indien, wo es im Volksglauben eine große Rolle spielt. D.-förmige Amulette gab es in ganz Eurasien. – Die älteren Kulturen des Mittelmeerraumes im Zweistromland und in Ägypten erkannten dem D. kultische Bedeutung zu. Ägyptische Priester hatten Kenntnisse über D., die ihnen vielleicht von Babylon her zugekommen waren.

Die Pythagoräer werteten das D. philosophisch aus; sie zählten es zu den formbildenden Prinzipien des Weltalls und behandelten die geometrischen Erkenntnisse als religiöse Geheimnisse; die für den Orden der Pythagoräer bedeutsame 10-Zahl wurde aus einem gleichseitigen D., dessen drei Seiten in je drei gleich lange Abschnitte unterteilt sind, gewonnen (Abb. 1 k); so ergeben sich 9 Punkte, während der zehnte der Schwerpunkt des D. ist. – Platos Idee ist der Aufbau aller Materie aus D.; er ordnete die fünf „platonischen“ Körper (s. o. II a) als „schönste“ Körper den Elementen zu: den Würfel der Erde, den Tetraeder dem Feuer, den Oktaeder der Luft und den Ikosaeder dem Wasser. Diese mathematische Ordnung Platos wurde von seinem zweiten Nachfolger in der Leitung der Akademie, von Xenokrates (397–314), dahin gedeutet, daß das gleichseitige D. Symbol der Gottheit, das ungleichseitige das der Menschheit und das gleichschenklige das der Dämonen sei. Solche religiösen Deutungen scheinen im Orient weithin verbreitet gewesen zu sein; sie treten z. B. deutlich in der spätjüdischen Apokalypse „Das Leben Adams und Evas“ auf, wo Gott das Grab Adams mit einem D.-förmigen Siegel verschließt; diese Siegelform wurde zweifellos ihrer apotropäischen (geisterabwehrenden) Bedeutung wegen gewählt. In Byzanz und im deutschen MA siegelten die Notare mit D.

b) Die meisten Verwendungen von D. in der christlichen Kunst gehen auf die Bedeutung des D. als Symbol der Dreifaltigkeit zurück. So trägt Gottvater bisweilen einen D.-Nimbus; es ist wahrscheinlich, daß mit derartigen Darstellungen Gottvater als Repräsentant der Trinität verstanden werden sollte [4]. Im Regensburger Utakodex (München, Bayer. St.Bibl., Clm. 13 601) ist auf fol. 1 v die Hand Gottes von einem gleichseitigen D. umgeben, das vielleicht als Dreifaltigkeitssymbol oder als „Symbol für das ewige Wesen der göttlichen Natur“ (Gg. Swarzenski, Regensburg S. 91f. auf Grund von Kap. 44 der Explicatio divinorum officiorum des Johannes Beleth, 12. Jh.) anzusehen ist. Seit dem 17. Jh. begegnet sowohl in katholischen als auch in protestantischen Kirchen das D. mit dem Auge Gottes (Abb. 2; s. a. RDK I 1243 bis 1248), ebenfalls ein Dreifaltigkeitssymbol. Bei der von Jac. de Gheyn nach C. van Maander 1589 gestochenen Anbetung der Dreifaltigkeit erscheint das verherrlichte Symbol als gleichseitiges D. in einer runden Strahlenglorie (Hollstein, Dutch Fl. E. 7, S. 181 m. Abb.). In das D. ist ein Kreis einbeschrieben, in dem in hebräischer Schrift der Name Gottes steht; dieser findet sich gelegentlich auch sonst anstelle des Auges Gottes. In gleicher Bedeutung kommen D. als Attribute der Fides und der Ekklesia vor (Sauer S. 240 und 249); auch der hl. Antonius von Padua hat bisweilen einen D.-Nimbus mit dem Auge Gottes (Knipping I, S. 208 Abb. 141). In dem 1701 erschienenen Emblembuch des Jesuitenpaters Jacob Boschius erscheint als Abb. 119 ein gleichseitiges D., in dessen Winkeln jeweils ein Stern angebracht ist; die Beischrift „Tribus honor unus“ erläutert die trinitarische Bedeutung (Abb. 3). Ein Augsburger Stich der 2. H. 17. Jh. zeigt Paulus, der einige griechische Philosophen – Diogenes im Faß, Sokrates mit dem Hahn, Archimedes (?), mit dem Zirkel ein D. konstruierend, Plato (?) – über die Welt im Lichte christlicher Wissenschaft unterrichtet: er demonstriert den Text von 1. Kor. 13, 12 vor einem Himmelsglobus, in dessen Mitte sich der Erdball befindet; davor erscheint ein D., ein Abbild des oben erstrahlenden göttlichen D.; das letztere entsendet Strahlen auf das irdische D., welche bewirken, daß die Erdkugel, soweit sie hinter dem D. liegt, durchleuchtet wird (Abb. 4). Der Münchner Hofmaler Peter Horemans stellte 1753 in seinem Zyklus der sieben Gaben des Hl. Geistes (München, Heiliggeistkirche) den Verstand mit einem Zepter dar, das von einem D. bekrönt wird.

IV. D. in der bildenden Kunst

Die Bedeutung des D. für die bildende Kunst ist nur zu einem geringen Teil an den Formen der Denkmäler unmittelbar abzulesen; zumal in der Baukunst, wo D. zur Vermessung (Abb. 5) und als Grundlage von Proportionssystemen (s. Proportion, Triangulatur, Goldener Schnitt) eine entscheidende Rolle spielten, besteht zwischen der Benutzung des D. und dem Auftreten von D.-Formen ein scharfer Gegensatz. D. lieferten für Malerei und Plastik Proportions- und Kompositionsschemata und trugen zur Festlegung der Bildformate bei; auch hier kam dem D. als Hilfsmittel in den verschiedenen Phasen des Arbeitsprozesses größere Bedeutung zu, als die fertigen Werke sofort erkennen lassen.

a) Reine D.-Formen sind in der Architektur nicht häufig anzutreffen; wo sie vorkommen, sind sie zumeist als integrierende Bestandteile anderer geometrischer Formen (Kreis, Quadrat, Rechteck) bzw. als Teile von Körpern (Pyramide) zu verstehen, aus denen sie durch Teilung gewonnen wurden. Nur bei architektonischen Einzelmotiven, z. B. beim Giebel, begegnen reine D. Bisweilen ergeben sich durch die Art, wie die konstitutiven Elemente des Grundrisses zueinander geordnet sind, dreieckige Restformen: so etwa bei Chorumgängen, wo D.-Zwickel zwischen den quadratischen oder rechteckigen Jochen übrig bleiben. Von diesen zufällig entstandenen D. soll hier nicht die Rede sein.

Als Kompositionsziel bei der Grundrißgestaltung ist das D. (oder wenigstens eine D.-artige Form) selten angestrebt worden. Für diese D.-Anlagen waren nicht architektonische, sondern symbolische Gründe ausschlaggebend (Dreifaltigkeitskirchen, s. u.).

Die Pyramiden (3. Jahrtaus. v. Chr.) sind die ältesten Zeugnisse für das Vorkommen von D. in der monumentalen Architektur. Ägyptische Tempelgrundrisse verwenden die 10-Teilung des Kreises. Das rechtwinklige D. und seine noch heute handwerklich übliche Konstruktion aus drei Seiten mit den Zahlenwerten 3, 4, und 5 waren den Ägyptern, wahrscheinlich auch den Babyloniern, bekannt.

Die Griechen benutzten ihre wissenschaftliche Geometrie zur Ordnung ihrer Bau- und wohl auch Bildwerke. Dabei ist vermutlich immer der Kreis die Ausgangsfigur gewesen. Entsprechend der Fortentwicklung der Mathematik im Hellenismus haben die Römer ihre Bauweise stärker zahlenmäßig bestimmt und die geometrischen Grundlagen allmählich aufgegeben (Vitruv). Die spätantiken mathematischen Kenntnisse und baulichen Erfahrungen sind in beschränktem Maße durch die Benediktiner dem MA überliefert worden.

Mit dem Beginn einer eigenständigen abendländischen Baukunst um die Jahrtausendwende erschien auch das D., und zwar nicht nur als geometrische Hilfsfigur, sondern in Verbindung mit pythagoräischen und neuplatonischen Vorstellungen. In dem Maße, wie die Baukunst sich einer handwerklich erzwungenen äußeren und dann auch inneren Regelung unterwarf, wurden Kreis, D. und Quadrat Sinnbilder philosophischer und mystischer Ordnung. Besonders das gleichseitige D., bei dem alle Seiten, Winkel, Höhen und Mittellinien gleich sind, galt als vollkommene Figur und kam, im Gegensatz zur Antike, selbständig (ohne den Ausgangskreis) vor. Es gibt Kirchengrundrisse, deren Längenabmessung durch zwei übereinanderstehende gleichseitige D. gewonnen wurde (St. Nazarius in Lorsch; St. Cäcilien in Köln; Limburg a. d. Hardt). Es scheint, daß Grundrisse vornehmlich aus dem Quadrat bestimmt wurden, daß man das D. hingegen, seiner aufstrebenden Natur entsprechend, gern zur Gestaltung des Aufrisses verwendete. Aus diesen Versuchen entwickelten sich vielfältige Systeme, die Geheimnisse der Bauhütte blieben; als Ausgangsfigur diente das Quadrat (s. Quadratur) oder das gleichseitige D. (s. Triangulatur). Aufmaße und gelegentlich auch Urkunden erweisen, daß solche Triangulaturen die Hauptmaße der Bauten, dann aber auch kleinere Teile bis hinunter zu Steinmetzzeichen bestimmten. Am Ende des MA lehrte Nikolaus von Cues, daß die Sinnbilder, in denen man das Göttliche zu erfassen suche, mathematisch bestimmbare Formen seien.

Die Neigung zur reinen Form, die schon in der Antike auftrat, wurde natürlich vom Humanismus gepflegt. In den Renaissancebauten erscheint das D. als wesentliches Mittel zum Aufbau formal-schöner Wände, während die Triangulatur im gotischen Sinne aufhörte. Der letzte große Bau, der noch das ma. Gesetz beachtete, ist St. Michael in München, wo u. a. der Grundriß aus einer Folge von gleichseitigen D. zusammengesetzt ist. In dem Schloß Stern bei Prag (1555) entspricht der Grundriß einem 5-Stern.

In der rationalen und durch die Mathematik stark unterstützten Auffassung des 16. Jh. wurzelt der Klassizismus der folgenden Jahrhunderte, der in seiner Neigung zur Antike und zur Theorie sich auch des D. als einer wichtigen Grundfigur bediente. In klassizistischen Bauwerken trat das D. gern als betonter Teil eines Rechtecks auf.

Im Kirchenbau des Barock herrschte für große Bauwerke die Anlage nach dem lateinischen Kreuz. Erst im technisch und formal hochentwickelten süddeutschen Kirchenbau des 18. Jh. erhielt das D. stärkere Bedeutung. In dem Maße, wie sich Lang- und Zentralbau verbanden, wurde auch das D. als Grundrißform möglich. Eine echte Verquickung der humanistischen Liebe zur reinen Form mit gegenreformatorischem symbolischen Gedankengut zeigt die von Georg Dientzenhofer 1685–89 erbaute, der Hl. Dreifaltigkeit geweihte dreipaßförmige Kapelle von Kappel bei Waldsassen (s. Dreipaß Abb. 9): drei kreisförmige Kuppelräume vereinigen sich in einem kurvigen gleichseitigen Gewölbe-D., drei schlanke Türme und die Laternen der drei Kuppeln stehen nochmals im gleichseitigen D. zueinander. Ihr folgte die einige Jahrzehnte später, 1714–24, von Joh. Mich. Prunner erbaute Wallfahrtskirche zu Stadl Paura bei Lambach, O.Ö. (Abb. 6). Die Entwürfe für protestantische Kirchen von Leonh. Christoph Sturm zeigen mehrfach das gleichseitige D. als Grundriß (Lex. der Baukunst 3, Abb. S. 363). Aus städtebaulichen Gegebenheiten wurde das Moskauer Senatsgebäude (1776–87 von Matvei Kazakov) in Form eines D. angelegt (Arthur Voyce, The Moscow Kremlin, Berkeley u. Los Angeles 1954, S. 64, Abb. 6).

b) Für die Malerei und Plastik des MA sind die Zeichnungen im Bauhüttenbuch des Villard de Honnecourt eine der aufschlußreichsten Quellen für die vielfältigen Verwendungsmöglichkeiten von D. zur Gestaltung bzw. Gruppierung einzelner Figuren oder Figurengruppen. Mit Hilfe recht verschiedener Systeme der Aneinanderfügung oder auch Durchdringung geometrischer Figuren werden Proportionen und die für den Aufbau entscheidenden Punkte festgelegt. Fraglich ist, ob wirklich alle diese Gliederungen als überlieferte Schemata anzusehen sind und ob jeder einzelnen ein klar definiertes System zugrunde liegt; bei einigen Zeichnungen scheint die geometrische Figur erst nachträglich für die bereits geschaffene Darstellung erfunden zu sein (H. R. Hahnloser, Villard de Honnecourt, Wien 1935, S. 89, Taf. 36f., 42 u. a.).

Im Spät-MA erblickte man im D. eine vollendetharmonische, „schöne“ Figur. So gewannen D. bei den Proportionsstudien hohe Bedeutung. Sie wurden ferner im Dienste der Perspektive und beim Aufbau von Kompositionen zu einem unentbehrlichen Hilfsmittel. Zahlreiche spätgotische Altäre und andere Bildwerke lassen sich auf ein Netz von Sternfiguren zurückführen. Im 15. Jh. und besonders im 16. Jh. wurden D. jeglicher Art als wichtige Kompositionselemente verwendet zum Beispiel von Konrad Witz, Meister Franke, Schongauer, Grünewald, Dürer und vor allem von Hans Holbein d. J.; in der italienischen Kunst hat besonders Raffael von D.-Kompositionen Gebrauch gemacht. Dürer hat die Kenntnis alter, auf dem gleichseitigen D. aufgebauter Proportionsgesetze, die vordem sakralen Darstellungen vorbehalten waren, für einen profanen Gegenstand (München, A. Pin., Selbstbildnis; Frz. Winzinger, Albrecht Dürers Münchener Selbstbildnis, Zs. f. Kw. 8, 1954, 43–64) genutzt und damit einen wichtigen Schritt zur Säkularisation des D. in Deutschland getan. Die Brüder van Eyck haben gleichseitige D. nicht nur dem Bildaufbau zugrunde gelegt, sondern – wohl als erste – auch aus D.-Konstruktionen das Bildformat ermittelt.

In der holländischen Malerei wurde die Spitze des D. oft zur Festlegung des inhaltlichen Mittelpunktes benutzt (Vermeer). Der Bildaufbau des Barock bevorzugte die Diagonale; nur in der Volkskunst hielten sich D.-Kompositionen mit gewisser Stetigkeit.

Zu den Abbildungen

1. Formen und Konstruktion von Dreiecken. Zchg. des Verf.

2. Jos. Ferd. Fromiller, Gewölbefresko im Chor der ehem. Stiftskirche in Ossiach (Kärnten): Dreifaltigkeitssymbol in Engelsglorie. 1746–53. Fot. Lala Aufsberg, Sonthofen, Nr. 31 831.

3. Kupferstich aus Jacob Boschius, Symbolographia sive de arte symbolica sermones septum, Augsburg u. Dillingen 1701. Fot. Ernst Guldan, München.

4. Kupferstich eines Augsburger Stechers, 2. H. 17. Jh. Fot. Herder-Archiv, Freiburg i. Br.

5. Villard de Honnecourt, Detail aus fol. 20 v des Bauhüttenbuchs, Paris, B. N. ms. fr. 19 093. Um 1235. Beischrift: Pa(r) chu p(re)nt om le hautece d’one toor (Auf diese Weise mißt man die Höhe eines Turmes). Nach Hahnloser Taf. 40 k.

6. Stadl Paura, O.Ö., Grundriß der Wallfahrtskirche zur hl. Dreifaltigkeit. 1712–24 von Joh. Mich. Prunner. Nach Jb. d. Kh. Inst. 13, 1919, S. 73 Abb. 42.

Literatur

Zu III: 1. Georg Stuhlfauth, Das Dreieck. Die Gesch. eines religiösen Symbols, Stg. 1937. – 2. H. Merz, Das Dreieck als Sinnbild Gottes, Christl. Kunstblatt 28, 1886, 86ff. – 3. A. Hackel, Die Trinität in der Kunst, Bln. 1931, bes. S. 78. – 4. Timmers Nr. 41–43, 63.

Zu IV: 5. Walter Thomae, Das Proportionswesen in der Gesch. der got. Bauk. und die Frage der Triangulation, Heidelberg 1933; bespr. von Otto Kletzl, Zs. f. Kg. 4, 1935, 56–63. – 6. Maria Velte, Die Anwendung der Quadratur und Triangulatur bei Grund- u. Aufrißgestaltung der got. Kirchen (= Basler Stud. z. Kg. 8), Basel 1951. – 7. Leonh. Christoph Sturm, Architektonisches Bedenken von der prot. kleinen Kirchenfigur und Einrichtung, Hamburg 1712. – 8. Ders., Vollständige Anweisung, alle Arten von Kirchen wohl anzugeben, Augsburg 1718.

Verweise